Grassmann图中局部图中不同类型边的计数

设 $\mathbb{F}_q$ 表示元素数为 $q$ 的有限域。设 $n,k$ 为整数，满足 $n>2k\geq 6$。设 $V$ 为维数为 $n$ 的 $\mathbb{F}_{q}$ 上的向量空间。Grassmann图 $J_q(n,k)$ 的顶点集合由 $V$ 的 $k$ 维子空间组成。当两个顶点所交的维数为 $k-1$ 时，它们相邻。在 $J_q(n,k)$ 中，令 $\partial$ 表示路径长度距离函数。任选一个顶点 $y$。本文定义 $X$ 中的三类边：类型 $0$、类型 $+$ 和类型 $-$；对于相邻顶点 $w,z$ 且 $\partial(w,y)=\partial(z,y)$，边 $wz$ 的类型取决于子空间 $w+z,w,z,w\cap z$ 及其与 $y$ 的交集。任选一个顶点 $x$，使得 $1<\partial(x,y)<k$。令 $\Gamma(x)$ 表示 $x$ 在 $J_q(n,k)$ 中的局部图。我们的总体目标是计数 $\Gamma(x)$ 中每类边的数量。考虑 $GL(V)$ 中的两个顶点稳定子 $\text{Stab}(x,y)$；已知 $\text{Stab}(x,y)$-作用在 $\Gamma(x)$ 上有五个轨道。任选两个轨道 $\mathcal{O},\mathcal{N}$（不一定不同）；对于给定的 $w\in \mathcal{O}$，求使边 $wz$ 为 (i) 类型 $0$，(ii) 类型 $+$，(iii) 类型 $-$ 的顶点数 $z\in \mathcal{N}$。为求得这些数值，我们使用涉及射影几何 $P_q(n)$ 的许多结果，该几何是 $V$ 中所有子空间的集合。