k-拟平面图的边数

平面中绘制的图若不含 $k$ 条两两交叉的边，则称为 $k$-拟平面图。长期以来有一个猜想：对于每个固定的 $k$，具有 $n$ 个顶点的 $k$-拟平面图的最大边数为 $O(n)$。目前已知的最佳上界是 $n(\log n)^{O(\log k)}$。在本篇笔记中，我们在图的绘制满足每对边最多相交一次的特殊情形下，将此上界改进为 $(n\log n)2^{\alpha^{c_k}(n)}$。其中 $\alpha(n)$ 表示阿克曼函数的（增长极其缓慢的）逆函数。我们还对每条边均绘制为 $x$-单调曲线的 $k$-拟平面图的猜想取得了进一步进展。通过推广 Valtr 的一些想法，我们证明了此类图的最大边数至多为 $2^{ck^6}n\log n$。