关于顶点传递图的自同构的阶

本文研究有限顶点传递图的自同构的阶、最长圈以及圈的个数。特别地,我们证明了具有 $n$ 个顶点且价 $d$、$d\le 4$ 的连通顶点传递图的每个自同构的阶至多为 $c_d n$,其中 $c_3=1$ 且 $c_4 = 9$。对于大于 $4$ 的价,这样的常数 $c_d$ 是否存在仍是一个未解决的问题。进一步,我们证明了有限连通 $3$-价顶点传递图 $\Gamma$($\Gamma \not\cong K_{3,3}$)的每一个自同构 $g$ 都有一个正则轨道,即 $\langle g \rangle$ 的一个长度等于 $g$ 的阶的轨道。此外,我们证明在此情形下,要么 $\Gamma$ 属于一个已被充分理解的例外图族,要么 $\Gamma$ 至少 $5/12$ 的顶点属于 $g$ 的一个正则轨道。最后,我们根据连通 $3$-价顶点传递图 $\Gamma$ 的顶点数以及 $C$ 的最长轨道的长度,给出了 $\Gamma$ 的自同构循环群 $C$ 的轨道个数的上界。