具有$\chi_D(G) > \chi(G)$和小自同构群的顶点传递图$G$

对于图$G$和正整数$k$，若顶点标记$f:V(G)\to\{1,2\ldots,k\}$使得对于每个$i\in\{1,\ldots,k\}$，$G$的任何非平凡自同构都不保持集合$f^{-1}(i)$，则称该标记为$k$-可区分的。图$G$的可区分色数，记作$\chi_D(G)$，定义为使得存在一个$V(G)$的$k$-可区分标记且该标记同时是$G$的顶点真着色的最小$k$。本文中，我们证明以下定理：给定$k\in\mathbb{N}$，存在一个无限的顶点传递图序列$G_{i}=(V_i,E_i)$，使得$\chi_D(G_i)>\chi(G_i)>k$且$|\mathrm{Aut}(G_i)|=O_k(|V_i|)$，其中$\mathrm{Aut}(G_i)$表示$G_i$的全自同构群。特别地，这回答了论文$\chi_D(G)$、$|\mathrm{Aut}(G)|$及Motion引理的一个变体中提出的一个问题。