关于支配数等于色数与支配者色数的图

对于图 $G = (V(G), E(G))$，支配集 $D$ 是 $V(G)$ 的一个顶点子集，其中 $V(G) \setminus D$ 的每个顶点都与 $D$ 中某顶点相邻。图 $G$ 的支配数是其支配集的最小基数，记为 $\gamma(G)$。图 $G$ 的一个着色是划分 $C = (V_{1}, ... ,V_{k})$，使得每个 $V_{i}$ 为独立集。色数是所有着色 $C = (V_{1}, ... ,V_{k})$ 中最小的 $k$，记为 $\chi(G)$。着色 $C = (V_{1}, ... ,V_{k})$ 若满足对每个 $V_{i}$，任意 $v \in V_{i}$ 在 $V_{i}$ 中为单点或与 $V_{j}$ 的每个顶点相邻，则称为支配者着色。图 $G$ 的支配者色数是其所有支配者着色的最小 $k$，记为 $\chi_{d}(G)$。进而，若 $\gamma(G) = \chi(G) = \chi_{d}(G) = k$，则称图 $G$ 为 $D(k)$。本文中，对于 $n \geq 4k - 3$，我们证明总存在阶为 $n$ 的 $D(k)$ 图。我们进一步证明当 $k \in \{3, 4\}$ 时不存在平面 $D(k)$ 图。即我们证明，对于非平凡平面图 $G$，$G$ 为 $D(k)$ 当且仅当 $G$ 为 $K_{2, q}$（其中 $q \geq 2$）。