Johnson 图 $J(N,D)$ 的核

本文描述了Johnson图 $\Gamma = J(N,D)$ ($N > 2D$)的核。设 $X$ 为 $\Gamma$ 的顶点集合。设 $A \in \text{Mat}_X({\mathbb C})$ 为 $\Gamma$ 的邻接矩阵。设 $\{E_i\}_{i=0}^D$ 为 $A$ 的 $Q$ -多项式排序的原始幂等元。固定 $x \in X$，考虑对应的对偶邻接矩阵 $A^*$ 和对偶原始幂等元 $\{E^*_i\}_{i=0}^D$。由 $A$ 和 $A^*$ 生成的代数子 $T$ 称为 $\Gamma$ 相对于 $x$ 的次配套代数。设 $V={\mathbb C}^X$ 为 $\Gamma$ 的标准模块。对于 $0 \leq i \leq D$ 定义\n\n$${\mathcal N}_i = (E^*_0 V + E^*_1 V + \cdots + E^*_i V) \cap (E_0 V + E_1 V + \cdots + E_{D-i} V).$$\n\n已知和 $\mathcal N = \sum_{i=0}^D {\mathcal N}_i$ 的和为直和，且 $\mathcal N$ 为 $T$ -模。$T$ -模 $\mathcal N$ 称为 $\Gamma$ 相对于 $x$ 的核。对于 $0 \leq i \leq D$ 我们为 ${\mathcal N}_i$ 构造基底以及 $E^*_i {\mathcal N}$ 的基底。由此得到 $\mathcal N$ 的两个基底。我们给出这两个基底的组合解释。我们给出这两个基底之间的过渡矩阵。我们也给出 $A$、$A^*$ 对这些基底的作用。