半立方体的 Terwilliger 代数

设 $D\geq 3$ 为整数。对任意 $x\in \mathbb F_2^D$，令 $w(x)$ 表示 $x$ 的汉明重量。令 $X$ 表示 $\mathbb F_2^D$ 中满足 $w(x)$ 为偶数的所有 $x$ 构成的子空间。$D$ 维半立方体 $\frac{1}{2}H(D,2)$ 是一个有限单连通图，其顶点集为 $X$，且 $x,y\in X$ 相邻当且仅当 $w(x-y)=2$。固定一个顶点 $x\in X$。$\frac{1}{2}H(D,2)$ 关于 $x$ 的 Terwilliger 代数 $\mathcal T=\mathcal T(x)$ 是 ${\rm Mat}_X(\mathbb C)$ 中由邻接矩阵 $A$ 和对偶邻接矩阵 $A^*=A^*(x)$ 生成的子代数，其中 $A^*$ 为对角矩阵，满足 $$A^*_{yy}=D-2w(x-y) \qquad \hbox{对所有 $y\in X$}.$$ 本文将标准 $\mathcal T$-模分解为不可约 $\mathcal T$-模的直和。