U(sl_2) 的 Clebsch-Gordan 法则、Krawtchouk 代数与 Hamming 图

设 $D\geq 1$ 和 $q\geq 3$ 为两个整数。令 $H(D)=H(D,q)$ 表示在一个 $q$ 元集合上的 $D$ 维 Hamming 图。令 ${\mathcal T}(D)$ 表示 $H(D)$ 的 Terwilliger 代数。令 $V(D)$ 表示标准的 ${\mathcal T}(D)$-模。令 $\omega$ 表示一个复标量。我们考虑一个由生成元与关系定义的单位结合代数 $\mathfrak K_\omega$。生成元为 $A$ 和 $B$。关系为 $A^2 B-2 ABA +B A^2 =B+\omega A$，$B^2A-2 BAB+AB^2=A+\omega B$。代数 $\mathfrak K_\omega$ 是对应于 Krawtchouk 多项式的 Askey-Wilson 代数的情形。当 $\omega^2\not=1$ 时，代数 $\mathfrak K_\omega$ 同构于 ${\rm U}(\mathfrak{sl}_2)$。我们将 $V(D)$ 视为 $\mathfrak{K}_{1-\frac{2}{q}}$-模。我们应用 ${\rm U}(\mathfrak{sl}_2)$ 的 Clebsch-Gordan 法则将 $V(D)$ 分解为不可约 ${\mathcal T}(D)$-模的直和。