面向 $\operatorname{GL}_{2,A}$ 的通用 Clebsch-Gordan 滤子

本文旨在研究群概形 $G:=\operatorname{SL}_{2, A}, \operatorname{GL}_{2,A}$ 与通用 Clebsch-Gordan 滤子。此处 $A$ 是一个域或任意交换环。若 $V:=A\{e_1,e_2\}$ 是 $A$ 上的秩为 $2$ 的自由模，并赋予 $V$ 作为 $G$ 上余模的“标准”结构，则对整数 $n \geq 1$ 可构造对称幂 $\operatorname{Sym}^n(V)$。若 $A$ 是特征为零的域，则张量积 $\operatorname{Sym}^n(V) \otimes \operatorname{Sym}^m(V)$ 可分解为不可约 $G$-余模的直和；本文的主要目标是考察类似结果在整数环或更一般的交换环（如戴德金整环）上是否成立。对 $A:=\mathbb{Z}$，我们将发现对任意整数对 $1 \leq n \leq m$，存在有限滤子 $F_i \subseteq \operatorname{Sym}^n(V) \otimes \operatorname{Sym}^m(V)$，满足 $F_i/F_{i+1} \cong \operatorname{Sym}^{n+m-2i}(V)$（$i=0,..,n$）。这意味着存在在 $G$ 上凝聚余模的 Grothendieck 群中成立的 Clebsch-Gordan 公式的版本。我还对 $\operatorname{GL}_{2,A}$ 证明了类似结果。此外，我证明群概形 $G$ 不是“完全可约”的，即存在 $G$ 上有限秩余模的满射 $\phi: V \rightarrow W$ 不可分裂。我还讨论了无挠余模的“好滤子”概念，并显式构造了一组具有好滤子的非平凡余模的无限集合。我对任意余模 $(V, \Delta)$（其中 $V$ 是自由有限秩 $A$-模）的对偶余模给出了函子性定义。该构造具有双重对偶 $V^{**}$ 作为余模典范同构于 $V$ 的性质。我计算了一些显式例子。