交换半群中关于幂等元的半群环与代数无关序列

对于任意有限阿贝尔群 $G$ 和交换单环 $R$，我们用 $R[G]$ 表示 $R$ 上的群代数。设 $T=(g_1,\ldots,g_{\ell})$ 为群 $G$ 上的一个序列。如果对于所有的 $a_1,\ldots,a_{\ell}\in R\setminus \{0\}$ 都有 $\prod\limits_{i=1}^r(X^{g_i}-a_i)\neq 0\in R[G]$，我们称 $T$ 在 $R$ 上是代数零和自由的。设 $d(G,R)={\rm sup}\{|T|: T \mbox{ 是 } R \mbox{ 上由 } G \mbox{ 中的项构成的代数零和自由序列 } \mbox{ }\}$。群代数 $R[G]$ 的这个不变量在零和理论的研究中发挥着重要作用。在本文中，我们将这一不变量推广到了交换周期半群 $S$ 的半群代数 $R[S]$ 上。对于一般的交换周期半群 $S$，我们给出了 $d(S,R)$ 的最佳上下界。在 $K$ 为域且 $S$ 为有限交换半群的情况下，我们给出了更精确的结果，包括 Clifford 半群、阿基米德半群和基本半群的等式，这涵盖了与交换半群的半格分解和子直积分解相关的所有类型的不可约分量。此外，不变量 $d(S,K)$ 被应用于研究半群中的一些零和不变量。我们提出了一个关于 $K$ 为特征零的代数闭域时 $d(S,K)$ 等式的猜想，该猜想也在本文中得到了部分证实。