有限循环半群中幂等和子序列的枚举与平滑序列

枚举有限循环群上给定序列的零和子序列是一个经典课题，它起源于 P. Erdős 的一个问题。本文中，我们在更一般的设定下——有限循环半群——考虑这一问题。设 $\mathcal{S}$ 为有限循环半群。以 $\textbf{e}$ 表示半群 $\mathcal{S}$ 的唯一幂等元。设 $T$ 为半群 $\mathcal{S}$ 上的序列，令 $N(T; \textbf{e})$ 为 $T$ 中和为幂等元 $\textbf{e}$ 的不同子序列个数。我们用 $T$ 的长度给出了 $N(T; \textbf{e})$ 的下界，并进一步证明，在 $N(T; \textbf{e})$ 不大的情况下，$T$ 包含具有某种平滑结构的子序列。我们的结果将 W. Gao [Discrete Math., 1994] 关于有限循环群上零和子序列枚举的定理推广到了半群的设定。