素数幂阶有限循环群上长度为五的极小零和序列

设 $G$ 为有限循环群。$G$ 上任意长度为 $l$ 的序列 $S$ 可写为 $S=(x_1g)\cdot\ldots\cdot(x_lg)$ 的形式，其中 $g\in G$ 且 $x_1, \ldots, x_l\in[1, \ord(g)]$，序列 $S$ 的指数 $\ind(S)$ 定义为对所有满足 $\langle g \rangle =G$ 的 $g\in G$ 取 $(x_1+\cdots+x_l)/\ord(g)$ 的最小值。近期，第二作者和第三作者确定了素数阶循环群上任意形如 $S=g^2(x_2g)(x_3g)(x_4g)$ 的长度为 5 的极小零和序列 $S$ 的指数。在本文中，我们确定了素数幂阶循环群上任意长度为 5 的极小零和序列 $S$ 的指数。结果表明，若 $G=\langle g\rangle$ 是阶为 $n=p^\mu$ 的素数幂阶循环群，其中 $p \geq 7$ 且 $\mu\geq 2$，且 $S=(x_1g)(x_2g)(x_2g)(x_3g)(x_4g)$ 满足 $x_1=x_2$ 是一个极小零和序列且 $\gcd(n,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=1$，则 $\ind(S)=2$ 当且仅当 $S=(mg)(mg)(m\frac{n-1}{2}g)(m\frac{n+3}{2}g)(m(n-3)g)$，其中 $m$ 是满足 $\gcd(m,n)=1$ 的正整数。