有限循环群上长度为四的极小零和序列 II

设 $G$ 为有限循环群。$G$ 上的任意序列 $S$ 可写为 $S=(n_1g)\cdot\ldots\cdot(n_lg)$ 的形式，其中 $g\in G$ 且 $n_1, \ldots, n_l\in[1, \ord(g)]$，序列 $S$ 的指数 $\ind(S)$ 定义为对所有满足 $\langle g \rangle =G$ 的 $g\in G$ 取 $(n_1+\cdots+n_l)/\ord(g)$ 的最小值。关于长度为四的序列指数的一个开放问题是：对于满足 $\gcd(|G|, 6)=1$ 的有限循环群 $G$，其上的每个长度为 4 的极小零和序列是否都具有指数 1。在本文中，我们证明了若 $G=\langle g\rangle$ 是一个阶为两个素数幂乘积且满足 $\gcd(|G|, 6)=1$ 的循环群，则形式为 $S=(g)(n_2g)(n_3g)(n_4g)$ 的每个极小零和序列 $S$ 的指数均为 1。特别地，我们的结果证实，当 $G$ 的阶为两个不同素数的乘积或素数幂时，上述问题有肯定回答，从而扩展了第一作者与 Plyley、Yuan 和 Zeng 的近期结果。