关于长度为四的最小零和序列的指数

设 $G$ 为有限循环群。$G$ 上的任意序列 $S$ 可写为 $S=(n_1g)\cdot\ldots\cdot(n_lg)$ 的形式，其中 $g\in G$ 且 $n_1, \ldots, n_l\in[1, \ord(g)]$，$S$ 的指数 $\ind(S)$ 定义为对所有满足 $\langle g \rangle =G$ 的 $g\in G$，$(n_1+\cdots+n_l)/\ord(g)$ 的最小值。关于长度为四的序列指数的一个猜想指出：对于满足 $\gcd(|G|, 6)=1$ 的有限循环群 $G$，其上任意长度为 4 的最小零和序列的指数均为 1。该猜想在 $|G|$ 为至多两个素数幂乘积的情形下最近已被证实。然而，一般情形仍未解决。在本文中，我们在解决一般情形方面取得了一些进展。基于此前关于该问题的工作，我们证明了若 $G=\langle g\rangle$ 是阶为 $|G|=n$ 且满足 $\gcd(n,6)=1$ 的有限循环群，$S=(x_1g)(x_2g)(x_3g)(x_4g)$ 是 $G$ 上的最小零和序列，其中 $x_1,\cdots,x_4\in[1,n-1]$ 满足 $\gcd(n,x_1,x_2,x_3,x_4)=1$，且对某个 $i\in[1,4]$ 有 $\gcd(n,x_i)>1$，则 $\ind(S)=1$。利用本文开发的一种创新方法，我们能够对 $|G|$ 为两个素数幂乘积的情形给出指数猜想的一个新的（且更短的）证明。