有限交换半群的 Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv 定理

设 $\mathcal{S}$ 为一个以加法形式书写的有限交换半群，令 $\exp(\mathcal{S})$ 为其指数，定义为 $\mathcal{S}$ 中所有元素的周期的最小公倍数。对于 $\mathcal{S}$ 中元素的任意序列 $T$（允许重复），令 $\sigma(T) \in \mathcal{S}$ 表示 $T$ 所有项的和。定义 $\mathcal{S}$ 的 Davenport 常数 $D(\mathcal{S})$ 为最小正整数 $d$，使得 $\mathcal{S}$ 上长度至少为 $d$ 的每个序列 $T$ 都包含一个真子序列 $T'$ 满足 $\sigma(T')=\sigma(T)$；并定义 Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv 定理常数 $E(\mathcal{S})$ 为最小正整数 $\ell$，使得 $\mathcal{S}$ 上长度至少为 $\ell$ 的每个序列 $T$ 都包含一个子序列 $T'$ 满足 $|T|-|T'|=\left\lceil\frac{|\mathcal{S}|}{\exp(\mathcal{S})}\right\rceil\exp(\mathcal{S})$ 且 $\sigma(T')=\sigma(T)$。当 $\mathcal{S}$ 为有限阿贝尔群时，众所周知 $\left\lceil\frac{|\mathcal{S}|}{\exp(\mathcal{S})}\right\rceil\exp(\mathcal{S})=|\mathcal{S}|$ 且 $E(\mathcal{S})=D(\mathcal{S})+|\mathcal{S}|-1$。在本文中，我们研究了不等式 $E(\mathcal{S})\leq D(\mathcal{S})+\left\lceil\frac{|\mathcal{S}|}{\exp(\mathcal{S})}\right\rceil \exp(\mathcal{S})-1$ 是否对所有有限交换半群 $\mathcal{S}$ 成立。我们对某些类的有限交换半群给出了上述问题的肯定回答，包括无群半群、基本半群以及具有特定约束的阿基米德半群。