由固定长度置换关系定义的群代数与半群代数

设 $H$ 为 $n$ 次对称群 $\text{Sym}_n$ 的子群。对于固定整数 $l \geq 2$，考虑由生成元 $x_1, x_2, \ldots ,x_n$ 及关系 $x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_l} =x_{\sigma (i_1)} x_{\sigma (i_2)} \cdots x_{\sigma (i_l)}$ 展示的群 $G$，其中 $\sigma$ 遍历 $H$。证明了 $G$ 拥有一个有限指数的自由子群。对于域 $K$，推导了代数 $K[G]$ 的性质。特别是，Jacobson 根 $\mathcal{J}(K[G])$ 总是幂零的，且在许多情况下代数 $K[G]$ 是半本原的。给出了关于 $K[G]$ 的增长和 Gelfand-Kirillov 维数的结果。在 $S$ 可消的情况下，获得了具有相同展示的半群 $S$ 和半群代数 $K[S]$ 的进一步性质。此时 Jacobson 根也是幂零的，并给出了代数半本原的充分条件。