非诺特群及其群代数的本原性

我们证明，群 $G$ 在域 $K$ 上的群代数 $KG$ 是本原的，前提是 $G$ 具有与 $G$ 相同基数的自由子群，且 $G$ 满足如下条件 $(\ast)$：对于 $G$ 的每个由有限个不等于 $1$ 的元素组成的子集 $M$，以及任意正整数 $m$，存在 $G$ 中互异的 $a$、$b$、$c$，使得若 $(x_{1}^{-1}g_1x_{1}) \cdots (x_{m}^{-1}g_mx_{m})=1$，其中 $g_i \in M$ 且对所有 $1\le i\le m$ 有 $x_i$ 等于 $a$、$b$ 或 $c$，则对某个 $i$ 有 $x_{i}=x_{i+1}$。这推广了 [Bal]、[For]、[Ni07] 和 [Ni11] 的结果，并证明对于满足 $(\ast)$ 的每个可数无限群 $G$，任意域 $K$ 上的 $KG$ 均是本原的。我们利用此结果确定了带挠单关系群（one relator groups with torsion）的群代数的本原性。