具有指数为 $p$ 的阿贝尔子群的 $p$-群的 Noether 问题

设 $K$ 为域，$G$ 为有限群。令 $G$ 通过由 $g\cdot x(h)=x(gh)$（对任意 $g,h\in G$）定义的 $K$-自同构作用于有理函数域 $K(x(g):g\in G)$。记 $K(G)$ 为不动域 $K(x(g):g\in G)^G$。Noether 问题即询问 $K(G)$ 是否在 $K$ 上有理。设 $p$ 为奇素数，$G$ 为指数为 $p^e$ 的 $p$-群。另假设 {\rm (i)} char $K = p>0$，或 {\rm (ii)} char $K \ne p$ 且 $K$ 包含本原 $p^e$ 次单位根。在本文中，我们证明了对于以下两类群，$K(G)$ 在 $K$ 上有理：{\rm (1)} $G$ 是具有指数为 $p$ 的阿贝尔正规子群 $H$ 的有限 $p$-群，使得 $H$ 是类型为 $C_{p^b}\times (C_p)^c$ 的 $G$ 的正规子群的直积，其中 $b,c$ 满足 $1\leq b,0\leq c$；{\rm (2)} $G$ 是来自同斜族编号为 1,2,3,4,8 和 9 的任意 $p^5$ 阶群。