具有指数为$p^2$的循环子群的$p$群的Noether问题

设$K$为任意域，$G$为有限群。令$G$通过$K$-自同构作用在有理函数域$K(x_g:g\in G)$上，该自同构定义为对于任意$g,h\in G$，有$g\cdot x_h=x_{gh}$。Noether问题询问固定域$K(G)=K(x_g:g\in G)^G$在$K$上是否为有理的（即纯超越的）。我们将证明，如果$G$是阶为$p^n$（$n\ge 3$）的非交换$p$群，且包含一个指数为$p^2$的循环子群，并且$K$是包含本原$p^{n-2}$次单位根的任意域，那么$K(G)$在$K$上是有理的。作为推论，如果$G$是阶为$p^3$的非交换$p$群，且$K$是包含本原$p$次单位根的域，那么$K(G)$是有理的。