三次非分歧上同调群与 243 阶群的 Noether 问题

设 $k$ 为一个域，$G$ 为一个有限群，通过 $k$-自同构 $h(x_g)=x_{hg}$（对任意 $g,h\in G$）作用在有理函数域 $k(x_g : g\in G)$ 上。我们将固定域 $k(x_g : g\in G)^G$ 记为 $k(G)$。Noether 问题询问 $k(G)$ 在 $k$ 上是否为有理的（即纯超越的）。众所周知，若 $C(G)$ 在 $C$ 上是稳定有理的，则所有非分歧上同调群 $H_{nr}^i(C(G),Q/Z)=0$ 对 $i \ge 2$ 成立。Hoshi、Kang 和 Kunyavskii [HKK] 证明，对于阶为 $p^5$（$p$ 为奇素数）的 $p$-群，$H_{nr}^2(C(G),Q/Z)\neq 0$ 当且仅当 $G$ 属于同倾族 $\Phi_{10}$。当 $p$ 为奇素数时，Peyre [Pe3] 以及 Hoshi、Kang 和 Yamasaki [HKY1] 展示了一些 $p$-群 $G$，它们具有某个初等阿贝尔 $p$-群被另一个初等阿贝尔 $p$-群中心扩张的形式，满足 $H_{nr}^2(C(G),Q/Z)=0$ 且 $H_{nr}^3(C(G),Q/Z)\neq 0$。然而，若 $G$ 为任意有限群，则很难判断 $H_{nr}^3(C(G),Q/Z)$ 是否非平凡。在本文中，我们能够确定 $H_{nr}^3(C(G),Q/Z)$，其中 $G$ 是阶为 $p^5$ 且 $p=3, 5, 7$ 的任意群。定理 1：设 $G$ 为 $3^5$ 阶群，则 $H_{nr}^3(C(G),Q/Z)\neq 0$ 当且仅当 $G$ 属于 $\Phi_7$。定理 2：若 $G$ 为 $3^5$ 阶群，则固定域 $C(G)$ 是有理的当且仅当 $G$ 不属于 $\Phi_{7}$ 和 $\Phi_{10}$。定理 3：设 $G$ 为 $5^5$ 或 $7^5$ 阶群，则 $H_{nr}^3(C(G),Q/Z)\neq 0$ 当且仅当 $G$ 属于 $\Phi_6$、$\Phi_7$ 或 $\Phi_{10}$。定理 4：若 $G$ 为交错群 $A_n$、Mathieu 群 $M_{11}$、$M_{12}$、Janko 群 $J_1$ 或群 $PSL_2(F_q)$、$SL_2(F_q)$、$PGL_2(F_q)$（其中 $q$ 为素数幂），则对任意 $d\ge 2$ 有 $H_{nr}^d(C(G),Q/Z)=0$。除三次非分歧上同调群外，我们还计算了稳定上同调群。