128 阶群不变量域的雙有理分类

设 $G$ 为有限群，通过 $\mathbb{C}$-自同构 $h(x_g)=x_{hg}$（对任意 $g,h\in G$）作用于有理函数域 $\mathbb{C}(x_g : g\in G)$。Noether 问题询问不变量域 $\mathbb{C}(G)=k(x_g : g\in G)^G$ 在 $\mathbb{C}$ 上是否是有理的（即纯超越的）。Saltman 和 Bogomolov 分别证明了对于任意素数 $p$，存在阶为 $p^9$ 和 $p^6$ 的群 $G$，使得 $\mathbb{C}(G)$ 在 $\mathbb{C}$ 上不是有理的，其方法是证明非分歧 Brauer 群不为零：$Br_{nr}(\mathbb{C}(G))\neq 0$。对于 $p=2$，Chu、Hu、Kang 和 Prokhorov 证明了如果 $G$ 是阶 $\leq 32$ 的 2-群，则 $\mathbb{C}(G)$ 在 $\mathbb{C}$ 上是有理的。Chu、Hu、Kang 和 Kunyavskii 表明，如果 $G$ 的阶为 64，则除了属于两个等斜族 $\Phi_{13}$ 和 $\Phi_{16}$ 的群 $G$ 外，$\mathbb{C}(G)$ 在 $\mathbb{C}$ 上是有理的。Bogomolov 和 B"ohning 的定理声称，如果 $G_1$ 和 $G_2$ 属于同一个等斜族，则 $\mathbb{C}(G_1)$ 和 $\mathbb{C}(G_2)$ 是稳定 $\mathbb{C}$-同构的。我们研究了 $Br_{nr}(\mathbb{C}(G))\neq 0$ 的 128 阶群 $G$ 的 $\mathbb{C}(G)$ 的双有理分类。Moravec 证明了恰好存在 220 个 $Br_{nr}(\mathbb{C}(G))\neq 0$ 的 128 阶群 $G$，它们构成了 11 个等斜族 $\Phi_j$。我们证明，如果 $G_1$ 和 $G_2$ 属于 $\Phi_{16}, \Phi_{31}, \Phi_{37}, \Phi_{39}, \Phi_{43}, \Phi_{58}, \Phi_{60}$ 或 $\Phi_{80}$（或者 $\Phi_{106}$ 或 $\Phi_{114}$），则 $\mathbb{C}(G_1)$ 和 $\mathbb{C}(G_2)$ 是稳定 $\mathbb{C}$-同构的，且 $Br_{nr}(\mathbb{C}(G_i))\simeq C_2$。针对每种情况（包括 $Br_{nr}(\mathbb{C}(G))\simeq C_2\times C_2$ 的 $\Phi_{30}$ 情况），给出了非有理域 $\mathbb{C}(G)$ 的显式结构。