上同调不变量的一个应用

设 $G$ 为有限群，$k$ 为域，$G\to GL(V_{\rm reg})$ 为 $G$ 在 $k$ 上的正则表示。则 $G$ 通过 $k$-自同构自然地作用于有理函数域 $k(V_{\rm reg})$。定义 $k(G)$ 为不动域 $k(V_{\rm reg})^G$。Noether 问题问 $k(G)$ 在 $k$ 上是否是有理的（相应地，稳定有理的）。当 $k=\bQ$ 且 $G$ 含有一个正规子群 $N$ 使得 $G/H\simeq C_8$（8 阶循环群）时，Jack Sonn 证明了 $\bQ(G)$ 在 $\bQ$ 上不是稳定有理的，这是 Endo-Miyata、Voskresenskii、Lenstra 和 Saltman 关于 Abel Noether 问题 $\bQ(C_8)$ 的定理的非 Abel 推广。利用上同调不变量的方法，我们能够将 Sonn 的定理推广如下。定理。设 $G$ 为有限群且 $N$ $\lhd$ $G$ 使得 $G/N\simeq C_{2^n}$，其中 $n\geq 3$。若 $k$ 是满足 ${\rm char}\,k=0$ 且 $k(\zeta_{2^n})/k$ 不是循环扩张的域，其中 $\zeta_{2^n}$ 是 $2^n$ 次本原单位根，则 $k(G)$ 在 $k$ 上不是稳定有理的（相应地，不是收缩有理的）。