$S_5$ 和 $S_7$ 子群的有理不变量

设 $G$ 为 $n$ 次对称群 $S_n$ 的子群。对于任意域 $k$，$G$ 通过由 $\sigma\cdot x_i=x_{\sigma(i)}$ 定义的 $k$-自同构自然地作用于有理函数域 $k(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，其中 $\sigma\in G$，$1\le i\le n$。定理：若 $n\le 5$，则不动域 $k(x_1,\ldots,x_n)^G$ 在 $k$ 上是纯超越的。我们将证明，若 $G$ 是 $S_7$ 中除 $A_7$ 外的任意传递子群，则 $\bm{C}(x_1,\ldots,x_7)^G$ 在 $\bm{C}$ 上也是纯超越的；类似结果对 $S_{11}$ 的可解传递子群也成立。