关于交比域的有理性问题 II

设 $k$ 为一域，$x_1, \dots, x_n$ 为独立变量且 $L_n = k(x_1, \dots, x_n)$。对称群 $\Sigma_n$ 通过置换变量作用于 $L_n$，而射影线性群 $\text{PGL}_2$ 按对每个 $i = 1, \ldots, n$ 有 $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \colon x_i \mapsto \frac{a x_i + b}{c x_i + d}$$ 作用。不动域 $L_n^{\text{PGL}_2}$ 被称为“交比域”。给定子群 $S \subset \Sigma_n$，H. Tsunogai 问 $L_n^S$ 是否在 $K_n^S$ 上是有理的。当 $n \geqslant 5$ 时，第二作者已证明 $L_n^S$ 在 $K_n^S$ 上是有理的当且仅当 $S$ 在 $\{ 1, \dots, n \}$ 中有一个奇阶轨道。本文中我们回答 Tsunogai 关于 $n \leqslant 4$ 的问题。