GL_4(Q) 有限子群的有理性问题

设 $G$ 为 $GL_4(\bm{Q})$ 的一个有限子群。群 $G$ 在 $\bm{Q}(x_1,x_2,x_3,x_4)$（$\bm{Q}$ 上四个变量的有理函数域）上诱导一个作用。定理：除两个例外群外，固定子域 $\bm{Q}(x_1,x_2,x_3,x_4)^G:=\{f\in\bm{Q}(x_1,x_2,x_3,x_4):\sigma \cdot f=f$ 对任意 $\sigma\in G\}$ 在 $\bm{Q}$ 上是有理的（即纯超越的）。这两个例外群是 $C_8$ 和 $C_3\rtimes C_8$ 到 $GL_4(\bm{Q})$ 的忠实表示的像（这两个例外情形的固定域在 $\bm{Q}$ 上都不是有理的）。在 $GL_4(\bm{Q})$ 中，共轭意义下恰好有 227 个这样的群；其中大部分群的有理性问题已由 Kitayama 和 Yamasaki 证明（参见文献 \cite{KY}），仅剩四个情形未解决。我们解决了这四个由 Kitayama 和 Yamasaki 遗留的未决情形；从而整个问题被完全解决。