三维纯拟单项作用

设 $G$ 为 $\mathrm{Aut}_k(K(x_1, \ldots, x_n))$ 的有限子群，其中 $K/k$ 为有限域扩张，$K(x_1,\ldots,x_n)$ 为 $K$ 上含 $n$ 个变量的有理函数域。$G$ 在 $K(x_1, \ldots, x_n)$ 上的作用称为拟单项的，若其满足以下三个条件：(i) 对任意 $\sigma\in G$ 有 $\sigma(K)\subset K$；(ii) $K^G=k$，其中 $K^G$ 为 $G$ 作用下的不动域；(iii) 对任意 $\sigma\in G$ 及 $1 \leq j \leq n$，有 $\sigma(x_j)=c_j(\sigma)\prod_{i=1}^n x_i^{a_{ij}}$，其中 $c_j(\sigma)\in K^\times$ 且 $[a_{i,j}]_{1\le i,j \le n} \in GL_n(\mathbb{Z})$。若对任意 $\sigma \in G$ 及任意 $1\le j\le n$ 均有 $c_j(\sigma)=1$，则称该拟单项作用为纯拟单项的。当 $k=K$ 时，拟单项作用称为单项的。主要问题在于：在何种情形下，$K(x_1,\ldots,x_n)^G$ 在 $k$ 上是有理的（=纯超越的）。对 $n=1$，有理性问题已由 Hoshi、Kang 和 Kitayama 解决。对 $n=2$，该问题在作用为单项时由 Hajja 解决，在作用于 $K$ 忠实且纯拟单项时由 Voskresenskii 解决（这等价于在 $K$ 上分裂的 $n$ 维代数 $k$-环面的有理性问题），在作用为纯拟单项时由 Hoshi、Kang 和 Kitayama 解决。对 $n=3$，该问题在作用为纯单项时由 Hajja、Kang、Hoshi 和 Rikuna 解决，在作用为单项（除一种情形外）时由 Hoshi、Kitayama 和 Yamasaki 解决，在作用于 $K$ 忠实且纯拟单项时由 Kunyavskii 解决。本文中，我们确定了 $n=3$ 且作用为纯拟单项（除少数情形外）时的有理性。作为一个应用，我们将展示某些可分解的 5 维纯单项作用的有理性。