维数 $\le 6$ 的乘性不变域

$GL_4(\bm{Z})$ 的有限子群在 \cite{BBNWZ} 中按共轭进行了分类；特别地，$GL_4(\bm{Z})$ 中存在 $710$ 个非共轭的有限群。$GL_4(\bm{Z})$ 的每个有限群 $G$ 自然地作用于 $\bm{Z}^{\oplus 4}$；由此我们得到一个忠实的 $G$-格 $M$，满足 {\rm rank}_\bm{Z} M=4。这样恰好有 $710$ 个这样的格。给定秩为 {\rm rank}_\bm{Z} M=4 的 $G$-格 $M$，群 $G$ 通过乘性作用（即 $\bm{C}$ 上的纯单项自同构）作用于有理函数域 $\bm{C}(M):=\bm{C}(x_1,x_2,x_3,x_4)$。我们关注不动域 $\bm{C}(M)^G$ 的有理性问题。我们研究的工具是域 $\bm{C}(M)^G$ 在 $\bm{C}$ 上的非分歧 Brauer 群。乘性不变域的非分歧 Brauer 群 ${\rm Br}_u(\bm{C}(M)^G)$ 的公式由 Saltman 于 1990 年发现。然而，即使当格 $M$ 的秩等于 $4$ 时，计算特定乘性不变域的 ${\rm Br}_u(\bm{C}(M)^G)$ 仍需额外努力。定理 1：在这 $710$ 个有限群 $G$ 中，设 $M$ 为对应的忠实 $G$-格且 {\rm rank}_\bm{Z} M=4，恰有 $5$ 个格 $M$ 满足 ${\rm Br}_u(\bm{C}(M)^G)\neq 0$。在这些情形下，$B_0(G)=0$，从而 ${\rm Br}_u(\bm{C}(M)^G)\subset H^2(G,M)$。这五个群 $G$ 的 {\rm GAP ID} 在 {\rm \cite{BBNWZ}} 和 {\rm \cite{GAP}} 中为 {\rm (4,12,4,12), (4,32,1,2), (4,32,3,2), (4,33,3,1), (4,33,6,1)}。定理 2：$GL_5(\bm{Z})$ 中存在 $6079$ 个有限子群 $G$。设 $M$ 为与每个群 $G$ 对应的秩为 $5$ 的格。在这些格中，恰有 $46$ 个满足条件 ${\rm Br}_u(\bm{C}(M)^G)\neq 0$。对于秩为 $6$ 的格也发现了类似的结果。