p^5阶群的非分歧Brauer群

设$k$为任意域，$G$为作用在有理函数域$k(x_g : g\in G)$上的有限群，作用方式为$h\cdot x_g=x_{hg}$，其中$h,g\in G$。定义$k(G)=k(x_g : g\in G)^G$。Noether问题询问$k(G)$在$k$上是否为有理的（即纯超越的）。已知如果$\bC(G)$在$\bC$上是有理的，则$B_0(G)=0$，其中$B_0(G)$是$\bC(G)$在$\bC$上的非分歧Brauer群。Bogomolov证明，如果$G$是阶为$p^5$的$p$-群，则$B_0(G)=0$。Moravec通过计算机计算否定了这一结果，对于$p=3,5,7$。我们将给出以下定理的理论证明（即通过传统的手工证明，不使用计算机）。定理：设$p$为任意奇素数。则存在一个阶为$p^5$的群$G$，满足$B_0(G)\neq 0$且$G/[G,G] \simeq C_p \times C_p$。特别地，$\bC(G)$在$\bC$上不是有理的。