无限阿贝尔群的泛零和不变量与加权零和

设 $G$ 为阿贝尔群，$\mathcal F (G)$ 为以 $G$ 为基的自由交换幺半群。对 $\Omega \subset \mathcal F (G)$，定义泛零和不变量 ${\mathsf d}_{\Omega}(G)$ 为最小整数 $\ell$，使得 $G$ 上每个长度为 $\ell$ 的序列都有属于 $\Omega$ 的子序列。不变量 ${\mathsf d}_{\Omega}(G)$ 统一了许多经典的零和不变量。设 $\mathcal B (G)$ 为 $\mathcal F (G)$ 中由所有零和序列构成的子幺半群，$\mathcal A (G)$ 为所有极小零和序列组成的集合。本文中，我们证明除少数特殊群类外，总存在 $\mathcal A (G)$ 的真子集 $\Omega$ 使得 ${\mathsf d}_{\Omega}(G)={\rm D}(G)$。此外，在有限循环群的设定下，我们通过确定所有极小集的交集来讨论其分布。通过将泛零和不变量与权值相联系，我们研究了{\sl 无限}阿贝尔群设定下的零和问题。对所有阿贝尔群引入了带群同态权值集 $\Psi$ 的泛零和不变量 ${\mathsf d}_{\Omega; \Psi}(G)$。还研究了无限阿贝尔群的加权 Davenport 常数 ${\rm D}_{\Psi}(G)$（作为带权泛不变量的特殊形式）。在其他结果中，当 $|\Psi|$ 有限时，就权值集 $\Psi$ 给出了 ${\rm D}_{\Psi}(G)<\infty$ 的充要条件。在此过程中，利用群覆盖理论中的 Neumann 定理，建立了阿贝尔群 $G$ 被其若干给定子群的陪集有限覆盖的存在性与加权 Davenport 常数有限性之间的联系。