群的加权达文波特常数及一个相关的极值问题

对于加群写法下的有限阿贝尔群$G$，以及非空子集$A\subset [1,\exp(G)-1]$，群$G$关于集合$A$的加权达文波特常数，记为$D_A(G)$，是满足如下性质的最小正整数$k$：给定任意$G$序列$(x_1,\ldots,x_k)$，存在非空子序列$(x_{i_1},\ldots,x_{i_t})$以及$a_{j}\in A$使得$\sum_{j=1}^t a_jx_{i_j}=0$。本文提出并研究了一个由$D_A(G)$研究自然产生的新极值问题：对整数$k\ge 2$，确定$\fD_G(k):=\min\{|A|: D_A(G)\le k\}$（若该问题有意义）。结果表明，对于“不太小”的$k$，这是一个良定义的问题，而最有趣的情形之一出现在$G=\Z_p$（素数阶循环群）时，我们对所有$k$（对充分大的素数$p$）获得了近乎最优的界，并对$k=2,4$获得了渐近紧（至多差常数因子）的界。