群的加权 Davenport 常数及一个相关极值问题 II

对于指数为 $n$ 的有限阿贝尔群 $G$ 和整数 $k\ge 2$，Balachandran 与 Mazumdar \cite{BM} 引入了极值函数 $\fD_G(k)$，其定义为 $\min\{|A|: \emptyset \neq A\subseteq[1,n-1]\textrm{\ with\ }D_A(G)\le k\}$（若不存在这样的 $A$ 则为 $\infty$），其中 $D_A(G)$ 表示群 $G$ 的 $A$-加权 Davenport 常数。当 $G=\bF_p$（$p$ 为素数）时，将 $\fD_G(k)$ 记为 $\fD(p,k)$。已知（\cite{BM}）对每个 $k\ge 2$ 和充分大的 $p$，有 $p^{1/k}-1\le \fD(p,k)\le O_k(p\log p)^{1/k}$，且对 $k=2,4$ 有更紧的界 $\fD(p,k)\le O(p^{1/k})$。此外还猜想 $\fD(p,k)=\Theta(p^{1/k})$。在这篇短文中，我们证明对充分大的素数 $p$ 有 $\fD(p,k)\le 4^{k^2}p^{1/k}$。