关于 Delsarte 极值问题中极值函数的存在性

本文研究一类 Delsarte 型极值问题。记 $\mathcal{P}(G)$ 为局部紧阿贝尔群 $G$ 上正定连续函数的集合。我们考虑由 Gorbachev 最初引入的函数类，\begin{multline*} \mathcal{G}(W, Q)_G = \left\{ f \in \mathcal{P}(G) \cap L^1(G) ~ : \right. ~ \left. f(0) = 1, ~ \text{supp}f_+ \subseteq W,~ \text{supp}\hat{f} \subseteq Q \right\} \end{multline*} 其中 $W\subseteq G$ 为闭集且具有限 Haar 测度，$Q\subseteq \hat{G}$ 为紧集。我们还考虑相关的 Delsarte 型问题，即求极值量 \begin{equation*} \mathcal{D}(W,Q)_G = \sup \left\{ \int_{G} f(g) d\lambda_G(g) ~ : ~ f \in \mathcal{G}(W,Q)_G\right\}. \end{equation*} 本文的主要目标是证明 Delsarte 型极值问题 $\mathcal{D}(W,Q)_G$ 的极值函数之存在性。极值函数的存在性最近由 Berdysheva 与 R\'ev\'esz 在最直接情形 $G=\mathbb{R}^d$ 下确立。因此本文的新意在于我们在局部紧阿贝尔群的一般设定下考虑该问题。由此，我们的结果对 Berdysheva 与 R\'ev\'esz 的先前工作给出了深远的推广。