共形极端度量与常标量曲率

设 $M$ 为维数 $n\geq 2$ 的紧致复流形。我们证明，对 $M$ 上的任意 Hermitian 度量 $\omega$，存在唯一（除加法常数外）光滑函数 $f$，使得共形度量 $\omega_g =e^f \omega$ 求解四阶非线性偏微分方程 $$\square_g^*(s_g|s_g|^{n-2})=0,$$ 其中 $s_g$ 为 $\omega_g$ 的 Chern 标量曲率，$\square_g^*$ 表示关于 $\omega_g$ 的复拉普拉斯算子 $\square_g=\mathrm{tr}_{\omega_g}\sqrt{-1}\partial\bar\partial$ 的形式伴随算子。该方程是 $n$-Calabi 泛函 $$C_{n}(\omega_g)=\int |s_g|^n\frac{\omega_g^n}{n!}$$ 在 $\omega_g$ 的共形类中的欧拉-Lagrange 方程。此外，我们证明临界度量 $\omega_g$ 在共形类 $[\omega]$ 中最小化 $n$-Calabi 泛函。特别地，如果 $\omega_g$ 为 Gauduchon 度量，则 $\omega_g$ 拥有常数 Chern 标量曲率。