具有 prescribed 变号高斯曲率的大共形度量

设 $(M,g)$ 为 genus $g(M)>1$ 的二维紧黎曼流形。设 $f$ 为 $M$ 上的光滑函数，满足 $$f \ge 0, \quad f\not\equiv 0, \quad \min_M f = 0.$$ 设 $p_1,\ldots,p_n$ 为满足 $f(p_i)=0$ 且 $D^2f(p_i)$ 非奇异的任意点集。我们证明，对于所有充分小的 $\lambda>0$，存在一族“冒泡”共形度量 $g_\lambda=e^{u_\lambda}g$，其高斯曲率由变号函数 $K_{g_\lambda}=-f+\lambda^2$ 给出。此外，族 $u_\lambda$ 满足 $$u_\lambda(p_j) = -4\log\lambda -2\log \left (\frac 1{\sqrt{2}} \log \frac 1\lambda \right ) +O(1)$$ 以及 $$\lambda^2e^{u_\lambda}\rightharpoonup8\pi\sum_{i=1}^{n}\delta_{p_i},\quad \mbox{as }\lambda \to 0,$$ 其中 $\delta_{p}$ 表示点 $p$ 处的 Dirac 质量。