标量曲率型方程的变号爆破

给定 $(M,g)$ 为一个维度 $n\geq 3$ 的紧黎曼流形，我们关注变号爆破解族 $(\ue)_{\eps>0}\in C^{2,\theta}(M)$（其中 $\theta\in (0,1)$）的存在性，这些解满足方程 $$\Delta_g \ue+h\ue=|\ue|^{\frac{4}{n-2}-\eps}\ue\hbox{ in }M\,,$$ 其中 $\Delta_g:=-\hbox{div}_g(\nabla)$ 且 $h\in C^{0,\theta}(M)$ 为一个势函数。我们证明了此类解族在两种主要情况下存在：在小维度 $n\in \{3,4,5,6\}$ 下对于任意势 $h$，或在维度 $3\leq n\leq 9$ 且 $h\equiv\frac{n-2}{4(n-1)}\Scal_g$ 时。这些例子提供了紧流形上标量曲率型临界椭圆方程紧性/非紧性的完整图景。由于 Druet 以及 Khuri--Marques--Schoen 的紧性结果，变号是必要的。