Moser-Trudinger 方程的符号变号爆裂

给定充分对称的区域 $\Omega\Subset\mathbb{R}^2$，对任意 $k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ 与 $\beta>4\pi k$，我们构造 Moser-Trudinger 方程的爆裂解 $(u_\varepsilon)\subset H^1_0(\Omega)$，使得当 $\varepsilon\downarrow 0$ 时，有 $\|\nabla u_\varepsilon\|_{L^2}^2\to \beta$，$u_\varepsilon \rightharpoonup u_0$ 于 $H^1_0$ 中，其中 $u_0$ 是 Moser-Trudinger 方程的一个符号变号解，且 $u_\varepsilon$ 发展出 $k$ 个正球形气泡，全部聚集于 $0\in \Omega$。这 $3$ 个特征（缺乏量子化、非零弱极限与气泡聚集）与第二作者及 Druet 所研究的正情形（$u_\varepsilon>0$，见 J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 22 (2020)）形成鲜明对比。