超临界 Bahri-Coron 问题的变号爆破解

设 $\Omega$ 为 $\R^n$ ($n\ge 3$) 中具有光滑边界 $\partial\Omega$ 和一个小洞的有界区域。我们给出非线性椭圆问题 $$-\Delta u=|u|^{{n+2\over n-2} +\ve -1 } u \, \, \mbox{ in } \Omega , \quad \quad u=0 \mbox{ on } \partial \Omega,$$ 的变号气泡解的首个例子，其中 $\ve$ 为小正参数。构造中的基本单元是临界 Yamabe 问题 $$-\Delta w = |w|^{\frac{4}{n-2}} w, \ \ w \in {\mathcal D}^{1,2} (\R^n)$$ 的变号节点解，其具有大量 ($3n$) 的核。