四维和五维中 Brezis--Nirenberg 问题的变号爆破解

我们考虑 Brezis-Nirenberg 问题：$$-\Delta u =\lambda u + |u|^{p-1}u\qquad \mbox{in}\,\, \Omega,\quad u=0\,\, \mbox{on}\,\,\ \partial\Omega,$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb R^N$ 中的光滑有界区域，$N\geq 3$，$p=\frac{N+2}{N-2}$ 且 $\lambda>0$。本文证明，若 $\Omega$ 对称且 $N=4,5$，则存在一个变号解，其正部在区域的对称中心处集中并爆破，而负部消失，此时 $\lambda\rightarrow \lambda_1$，其中 $\lambda_1=\lambda_1(\Omega)$ 表示 $-\Delta$ 在 $\Omega$ 上具有零 Dirichlet 边界条件的第一特征值。