高阶 Brezis-Nirenberg 问题正解的唯一性

本文在 Navier 边界条件下研究高阶 Brezis-Nirenberg 问题 \be\label{eq} \begin{cases} (-\Delta)^m u=\varepsilon u+u^{p} & \text { in }\, \Omega, \\ u>0 & \text { in }\, \Omega, \\ u=-\Delta u=\cdots=(-\Delta)^{m-1} u=0 & \text { on }\, \partial \Omega, \end{cases} \ee 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中严格凸的光滑有界区域，$n \geq 4m$，$m \in \mathbb{N}_{+}$，$\varepsilon\in (0,\lambda_{1})$，$\lambda_{1}$ 为 $\Omega$ 中 $(-\Delta)^{m}$ 的第一 Navier 特征值，且 $p=\frac{n+2m}{n-2m}$。我们证明了当 $\varepsilon$ 接近 $\lambda_1$，或 $\varepsilon$ 接近 0 且 $\Omega$ 满足某些对称性假设时，\eqref{eq} 的解唯一。证明主要基于我们之前关于高阶临界椭圆方程解的爆破分析与紧性结果，以及 \eqref{eq} 解的渐近行为的工作。