涉及逆算子的 Brezis--Nirenberg 型问题正解的存在性

本文致力于研究一个与四阶微分方程相关的问题的正解存在性，该方程包含依赖于二阶微分算子的非线性项，$$(-\Delta)^2 u=\lambda u+ (-\Delta)|u|^{p-1}u,$$ 在 bounded 区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$，$N\geq 7$ 中，并假设齐次 Navier 边界条件。特别地，我们研究一个包含如下形式非局部项的二阶方程，$$-\Delta u=\lambda (-\Delta)^{-1} u+|u|^{p-1}u,$$ 在 Dirichlet 边界条件下，并证明了依赖于正实数参数 $\lambda>0$ 的正解的存在性，直至指数的临界值 $p$，即当 $1<p\leq 2^*-1$ 时，其中 $2^*=\frac{2N}{N-2}$ 为临界 Sobolev 指数。对于 $p=2^*-1$，这一等价性将我们引向一个 Brezis--Nirenberg 型问题，参见 \cite{BN}，但在我们的特定情形中，线性项是一个非局部项。该非局部项对方程的影响改变了经典基于 Sobolev 常数极小元的技术确保解存在的维数，从经典 Brezis-Nirenberg 问题中的维数 $N\geq 4$，变为该非局部问题中的维数 $N\geq7$。