低维 Brezis-Nirenberg 问题变号解的不存在性结果

我们考虑 Brezis-Nirenberg 问题：\begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u = \lambda u + |u|^{2^* -2}u & \hbox{in}\ \Omega\\ u=0 & \hbox{on}\ \partial \Omega, \end{cases} \end{equation*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的光滑有界域，$N\geq 3$，$2^{*}=\frac{2N}{N-2}$ 是临界 Sobolev 指数，$\lambda>0$ 为正参数。本文的主要结果表明，如果 $N=4,5,6$ 且 $\lambda$ 接近于零，则不存在形式为 $$u_\lambda=PU_{\delta_1,\xi}-PU_{\delta_2,\xi}+w_\lambda,$$ 的变号解，其中 $PU_{\delta_i}$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中临界问题的正则正解在 $H_0^1(\Omega)$ 上的投影，中心位于点 $\xi \in \Omega$，而 $w_\lambda$ 是余项。此外还给出了关于 $w_\lambda$ 范数估计以及高维中气泡塔集中速度的一些附加结果。