Brezis-Nirenberg 问题的正解个数

在本文中我们关注著名的 Brezis-Nirenberg 问题 \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u= u^{\frac{N+2}{N-2}}+\varepsilon u, &{\text{in}~\Omega},\\ u>0, &{\text{in}~\Omega},\\ u=0, &{\text{on}~\partial \Omega}. \end{cases} \end{equation*} 对于小 $\varepsilon>0$，上述问题的多峰解的存在性由 Musso 与 Pistoia 获得。然而，上述问题的正解的唯一性或精确个数仍未知。此处我们关注小 $\varepsilon>0$ 时多峰解的局部唯一性及上述问题的正解精确个数。利用各种局部 Pohozaev 恒等式与爆破分析，我们首先探测了爆破解剖面与区域 $\Omega$ 的 Green 函数之间的关系，随后获得了一类爆破解的局部唯一性结果。最后我们给出了小正 $\varepsilon$ 时正解个数的描述，其同样依赖于 Green 函数。