Brezis-Nirenberg问题的渐近行为：亚临界扰动情形

本文关注著名的Brezis-Nirenberg问题：\n\begin{equation*}\n\begin{cases}\n-\Delta u= u^{2^*-1}+\varepsilon u^{q-1},\quad u>0, &{\text{in~}\Omega},\n\quad \ \ u=0, &{\text{on~}\partial \Omega},\n\end{cases}\n\end{equation*}\n其中，$\Omega\subset \mathbb R^N$ 为边界域，$N\ge 3$，$q\in(2,2^*)$，$2^*=\frac{2N}{N-2}$为临界索布拉夫希 exponent。众所周知（H. Brézis 和 L. Nirenberg, \newblock {\em Comm. Pure Appl. Math.}, 36(4):437--477, 1983），上述问题对所有 $\varepsilon >0$ 和 $q>\max\{2,\frac{4}{N-2}\}$ 都存在正的最小能量解。本文首先分析正最小能量解随 $\varepsilon\to 0$ 的渐近行为，建立最小能量解的剖面和爆发速率的尖锐渐近特征。随后，在对域 $\Omega$ 施加适当假设后，证明了最小能量解的唯一性和非退化性。本文的结果可视为文献中 $q=2$ 情形结果的推广，但情况与 $q=2$ 有所不同，爆发速率不仅严重依赖于空间维数 $N$ 和域的几何结构，还在非平凡方式下依赖于指数 $q\in(\max\{2,\frac{4}{N-2}\}, 2^*)$。