双谐波 Br ézis-Nirenberg 问题的能量渐近与 blow-up 现象

对于维数 $n\geq8$，我们关注双谐波 Br ézis-Nirenberg 问题在 Navier 边界条件下的商函数 $$S(\varepsilon V):=\inf_{0\not\equiv u\in H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)}\frac{\int_{\Omega}|\Delta u|^2dx+\varepsilon\int_{\Omega}V|u|^2dx}{\big(\int_{\Omega}|u|^{2^\star}dx\big)^{2/2^\star}},$$ 其中 $2^\star=\frac{2n}{n-4}$ 是嵌入 $H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^{2^\star}(\Omega)$ 的临界 Sobolev 指数，$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 为有界开放集，$V:\overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$ 为连续函数。在 $V$ 的 certain 假设下，我们通过匹配上、下估计的方法，建立 $S(0)-S(\varepsilon V)$ 作为 $\varepsilon\rightarrow0^+$ 的尖锐渐近。此外，我们对 nearly 最小序列的 blow-up 轮廓给出了精确描述，并刻画了 blow-up rate 与浓度点的 location。