半球上 Nirenberg 问题的非简单爆破

本文研究标准半球 $(\mathbb{S}^n_+,g_0)$ 上的一类 Nirenberg 型问题，即寻找具有指定数量曲率和边界零平均曲率的共形度量，边界为 $\partial \mathbb{S}^n_+$。该问题等价于求解如下涉及临界 Sobolev 指数的边值问题：\begin{equation*} (\mathcal{P}) \quad \begin{cases} -\D_{g_0} u \, + \, \frac{n(n-2)}{4} u \, = K \, u^{\frac{n+2}{n-2}},\, u > 0 & \mbox{in } \mathbb{S}^n_+, \frac{\partial u}{\partial \nu }\, =\, 0 & \mbox{on } \partial \mathbb{S}^n_+. \end{cases} \end{equation*} 其中 $K \in C^2(\mathbb{S}^n_+)$ 为正函数。在关于函数 $K$ 的一般条件下，我们构造了维数 $n \geq 5$ 的半球上 $(\mathcal{P})$ 的次临界近似的有限能量解，这些解在同一边界点呈现多重的\emph{簇型}爆破。这些解可能具有零或非零弱极限，并可能在不同边界点发展出簇。半球上的此类爆破现象与球上 Nirenberg 问题形成鲜明对比，后者有限能量子解不可能发生非简单爆破，并揭示了与流体动力学 Euler 方程中出现的涡型问题及数学物理中平均场型方程的意外联系。在 $\partial \mathbb{S}^n_+$ 上 $K$ 的限制满足适当条件时，我们还构造了任意大能量和 Morse 指标的近似解。