高维半球面上的 Nirenberg 问题：挤压条件的影响

本文研究标准半球面 $(\mathbb{S}^n_+,g), \, n \geq 5$ 上的 Nirenberg 问题，即寻找边界上具零平均曲率的给定数量曲率的共形度量。该问题等价于求解如下涉及临界 Sobolev 指数的边值问题：\begin{equation*} (\mathcal{P}) \quad \begin{cases} -\D_{g} u \, + \, \frac{n(n-2)}{4} u \, = K \, u^{\frac{n+2}{n-2}},\, u > 0 & \mbox{in } \mathbb{S}^n_+, \frac{\partial u}{\partial \nu }\, =\, 0 & \mbox{on } \partial \mathbb{S}^n_+. \end{cases} \end{equation*} 其中 $K \in C^3(\mathbb{S}^n_+)$ 为正函数。该问题具有变分结构，但相关的 Euler-Lagrange 泛函 $J_K$ 缺乏紧性。实际上它容许\emph{无穷远临界点}，即（负）梯度流的非紧轨道的\emph{极限}。通过在\emph{无穷远邻域}中构造适当的\emph{伪梯度}，我们刻画了这些\emph{无穷远临界点}，赋予其指标，在它们的邻域内对泛函 $J_K$ 进行\emph{Morse 型约化}，并计算它们对 $J_K$ 水平集之间拓扑差分的贡献，从而将完整的 Morse 理论方法推广到这一\emph{非紧变分问题}。利用该方法，在各种挤压条件下证明了 $(\mathcal{P})$ 在维数 $n \geq 5$ 的半球面上的若干存在性结果。