共振边界$Q$-曲率问题与边界加权重心
微分几何
2016-04-14 v1 偏微分方程分析
摘要
给定带边界的紧致四维黎曼流形，我们研究在上共形于的黎曼度量的存在问题，该度量在的内部具有预设的-曲率，并在边界上具有零-曲率和平均曲率。该几何问题等价于求解涉及带有Chang-Qing和Neumann算子边界条件的Paneitz算子的四阶椭圆边值问题（BVP）。相应的BVP具有变分公式，但在所研究的情况下，相应的变分问题是非紧的。为克服此困难，我们按照Bahri的方式对所谓的{\it 无穷远临界点}进行系统研究，计算它们的Morse指数，确定它们对相关Euler-Lagrange泛函的子水平集之间拓扑差分的贡献，从而将完整的Morse理论扩展到这个非紧变分问题。为建立Morse不等式，我们被迫从拓扑观点研究底层流形的边界加权重心空间，这些重心出现在相关泛函的非常负子水平集的拓扑描述中。作为我们方法的应用，我们推导了各种存在性结果，并给出了带边界紧致四维黎曼流形上预设-曲率问题的Poincaré-Hopf型准则。
引用
@article{arxiv.1604.03745,
title = {The resonant boundary $Q$-curvature problem and boundary-weighted barycenters},
author = {Mohameden Ahmedou and Sadok Kallel and Cheikh Birahim Ndiaye},
journal= {arXiv preprint arXiv:1604.03745},
year = {2016}
}