具有临界非线性的双调和薛定谔方程的爆裂现象

我们考虑双调和非线性薛定谔泛函 $$\mathcal{E}_a(u)=\int_{\mathbb{R}^d} |\Delta u(x)|^2 d x + \int_{\mathbb{R}^d} V(x) |u(x)|^2 d x - a \int_{\mathbb{R}^d} |u(x)|^{q} d x$$ 在质量约束 $\int |u|^2=1$ 下的最小化子。我们关注特殊幂次 $q=2(1+4/d)$,它使得非线性项 $\int |u|^q$ 与双调和项 $\int |\Delta u|^2$ 具有相似的标度。我们的主要结果是当 $a$ 趋于临界值 $a^*$ (其为 Gagliardo--Nirenberg 插值不等式中的最优常数) 时,最小化子的存在性与爆裂行为。