一类具奇异势的 Kirchhoff 型方程的基态解

我们研究最小化子 $E(b)=\inf\Big\{\mathcal{E}_b(u) \,|\, u\in H^1(R^2), \|u\|_{L^2}=1\Big\}$ 的存在性与爆破行为，此处 $\mathcal{E}_b(u)$ 为由 $\mathcal{E}_b(u)= \int_{R^2} |\nabla u|^2 dx+ b(\int_{R^2} |\nabla u|^2d x)^2+\int_{R^2} V(x) |u(x)|^2 dx - \frac{a}{2} \int_{R^2} |u|^4 dx$ 定义的 Kirchhoff 能量泛函，其中 $a>0$ 与 $b>0$ 为常数。当 $V(x)= -|x|^{-p}$ 且 $0<p<2$ 时，我们证明该问题具有（至少）一个非负且径向对称递减的最小化子。对于 $a\ge a^*$（其中 $a^*$ 为 Gagliardo-Nirenberg 不等式中的最优常数），我们得到当 $b\to 0^+$ 时 $E(b)$ 的行为。此外，对于 $a=a^*$ 的情形，我们分析了当 $b\to 0^+$ 时最小化子 $u_b$ 行为的细节。