关于向列相液晶液滴的一个变分问题

设 $\mu>0$ 为固定常数, 我们证明下列能量泛函 \begin{align*} E_f(u,\Omega):=\int_{\Omega}|\nabla u|^2+\mu P(\Omega) \end{align*} 在如下配对 $(\Omega,u)$ 中存在极小元: $\Omega$ 是具有有限周长与固定体积的 $M$-一致域, 且 $u \in H^1(\Omega,\mathbb{S}^2)$ 并在 $\Omega$ 的约化边界上几乎处处等于 $\nu_{\Omega}$(测度论意义下的外单位法向量)。我们也得到了多种情形下最优构型的唯一性。此外, 我们考虑如下一般能量泛函 \begin{align*} E_f(u,\Omega):=\int_{\Omega} |\nabla u(x)|^2 \,dx + \int_{\partial^* \Omega} f\big(u(x)\cdot \nu_{\Omega}(x)\big) \,d\mathcal{H}^2(x), \end{align*} 其中 $\partial^* \Omega$ 为 $\Omega$ 的约化边界, $f$ 是 $\mathbb R$ 上的凸正函数。我们证明 $E_f$ 在具有固定体积与 $u \in H^1(\Omega,\mathbb{S}^2)$ 的 $M$-一致外极小化域 $\Omega$ 中亦存在极小元。